jueves, 13 de mayo de 2010

Distribución de Poisson









En teoria de probabilidad y estadistica, la distribución de Poisson es una distribuicion de probabilidad discreta. Expresa la probabilidad de un número k de eventos ocurriendo en un tiempo fijo si estos eventos ocurren con una frecuencia media conocida y son independientes del tiempo discurrido desde el último evento.

Fue descubierta por Simeon-Denis Poisson, que la dio a conocer en 1838 en su trabajo (Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles).

PROPIEDADES

La función de densidad de la distribución de Poisson es

donde λ es un parámetro positivo que representa la frecuencia esperada del fenómeno modelado por la distribución.

Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribución de Poisson son iguales a λ.

La de una variable aleatoria de distribución de Poisson con un λ no entero es igual a^λ, el mayor de los enteros menores que λ (los símbolos representan la funcion parte entera). Cuando λ es un entero positivo, las modas son λ y λ − 1.

La funcion generadora de momentos de la distribución de Poisson con valor esperado λ es

Sumas de variables aleatorias de Poisson

La suma de variables aleatorias de Poisson independientes es otra variable aleatoria de Poisson cuyo parámetro es la suma de los parámetros de las originales. Dicho de otra manera, si

son N variables aleatorias de Poisson independientes, entonces


Distribución binomial

La distribución de Poisson es el caso límite de la distribuición binomial. De hecho, los parámetros n y θ de una distribución binomial tienden a infinito de manera que se mantenga constante, la distribución límite obtenida es de Poisson.

Aproximación normal

Como consecuencia teorema central del limite, para valores grandes de λ, una variable aleatoria de Poisson X puede aproximarse por otra normal dado que el cociente

converge a una distribución normal de media nula y varianza 1.

Distribución exponencial

Supóngase que para cada valor t > 0, que representa el tiempo, el número de sucesos de cierto fenómeno aleatorio sigue una distribución de Possion de parámetro λt. Entonces, los tiempos discurridos entre dos sucesos sucesivos sigue la distribuicion exponencial.



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